Меню

В распоряжении имеются яблоки груши и апельсины сколькими способами

В распоряжении имеются яблоки груши и апельсины сколькими способами

Добрый день, очень требуется помощь в решении следующих задач:
1) В скольких случаях при игре в «Спортлото» (угадывание 5 номеров из 36)будут правильно выбраны не менее3 номеров?
Вариант как я решил: тут используем сочетания C(n,k) = n!/k!(n-k)!. надо просчитать все варианты что бы были выбраны не менее3 номеров, получаем:
С(36,3)- выбор тройки совпавших, С(33,2)- для оставшихся. так же делаем для 4-ёх и 5-ти шаров
С(36,4) — выбор четверки, С(32,1) — оставшиеся
С(36,5) — полное совпадение.
я не понимаю как правильно это всё связать что бы получилось искомые все варианты.

2)Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой: 6 одинаковых яблок, 1 апельсин, 1 сливу, 1 лимон, 1 грушу, 1 айву и 1 финик?
Вариант как я начал решить:
Так как яблоки у нас одинаковы то используем явно формулу с повторениями, думал решить через перестановки с повторениями — получилось общие число перестановок:
12!/6!*1!*1!*1!*1!*1!*1!
а вот дальше не понимаю как связать с Размещением, или тут Сочетание?! не могу понять

3) Найти число способов раскладки N различных шаров по M различным корзинам.
Где то видел на форуме уже решение похожей задаче, но если не сложно объясните по действиям как это сделать, точнее логические шаги

4) Вот то что мой мозг окончательно решил отвергнуть:
Чему равен коэффициент при A^10, B^8 в разложении (3+А+B)^20 ?

помогите пожалуйста, и если не составит труда объясните, потому что решаю это для себя и просто необходима помощь знающих людей
Спасибо.

От: Аноним
Дата: 30.08.11 12:11
Оценка:

P>4) Вот то что мой мозг окончательно решил отвергнуть:
P>Чему равен коэффициент при A^10, B^8 в разложении (3+А+B)^20 ?

(3+A+B)^20 = ((A+B) + 3) ^20 = (A+B)^20 + C(20,1)*3*(A+B)^19 + C(20,2)*3^2*(A+B)^18 + (A+B)^17*.. + .

A^10 * B^8 встречается только где-то внутри (A+B)^18. (раскрывая остальные (A+B)^N, получаем что сумма степеней при A и B равна N а значит рассматриваем только N = 18)

Раскрываем (A+B)^18 и ищем коээфициент при A^10 * B^8

Ответ: C(20,2)*9* C(18,10) = 74826180

От: Аноним
Дата: 30.08.11 12:42
Оценка:

P>Добрый день, очень требуется помощь в решении следующих задач:
P>1) В скольких случаях при игре в «Спортлото» (угадывание 5 номеров из 36)будут правильно выбраны не менее3 номеров?

У нас есть эталонные выпавшие номера — 5 штук. Необходимо подсчитать сколькими способоми можно выбрать из 36 пятёрки номеров так чтоб совпадало с эталоном не менее 3.

Выбираем 3 номера из эталонных 5, которые будут совпадать. C(5,3). Оставшиеся два номера в нашей пятёрке могут быть любыми, кроме уже выбранных трёх,(любыми — как включая оставшиеся 2 в эталоне — тогда будет более трёх совпадений, так и нет).

Ответ: C(5,3) * С(33, 2)
Комментарий для понимания лотерейной сути: Случай угадывания — это случай когда выбранная пятёрка совпадает с эталонной. Всего вариантов выбора пятёрки («случаев») = C(5,36). Т.е. Вероятность(угадывания не менее 3) = C(5,3) * С(33, 2)/ C(36,5)

От: Кодт
Дата: 02.09.11 10:02
Оценка: +1

Здравствуйте, pinosol666, Вы писали:

P>3) Найти число способов раскладки N различных шаров по M различным корзинам.
P>Где то видел на форуме уже решение похожей задаче, но если не сложно объясните по действиям как это сделать, точнее логические шаги

Ну это совсем банально!
Каждой корзине можно сопоставить множество шаров, так, что множества не пересекаются, а их объединение. динамическое программирование, туда-сюда.
НО!
Каждому шару можно сопоставить номер корзины, причём эти номера независимы!
Ergo, раскладка — это N-мерный вектор чисел 1..M. А количество таких векторов — M^N.

От: Буравчик
Дата: 02.09.11 19:54
Оценка:

Здравствуйте, pinosol666, Вы писали:

P>1) В скольких случаях при игре в «Спортлото» (угадывание 5 номеров из 36)будут правильно выбраны не менее3 номеров?
P>Вариант как я решил: тут используем сочетания C(n,k) = n!/k!(n-k)!. надо просчитать все варианты что бы были выбраны не менее3 номеров, получаем:
P>С(36,3)- выбор тройки совпавших, С(33,2)- для оставшихся. так же делаем для 4-ёх и 5-ти шаров
P>С(36,4) — выбор четверки, С(32,1) — оставшиеся
P>С(36,5) — полное совпадение.
P>я не понимаю как правильно это всё связать что бы получилось искомые все варианты.

Читайте также:  К чему сниться сладкая груша

Имеем спортлото 5 из 36 (k из n). То есть 5 выигрышных номеров (k номеров) и 31 невыигрышный (n-k).
Сначала мы хотим угадать ровно 3 номера (m номеров).
— три числа попали в выигрышные => C(5,3) => C(k,m)
— оставшиеся два числа попали в проигрышные => С(31,2) => C(n-k, k-m)
Общее число комбинаций, когда угадано ровно три числа: C(5,3)*С(31,2) => C(k,m)*C(n-k,k-m)

Угаданы не менее 3 номеров, значит угаданы 3, 4, или 5 номеров.
Итоговая вероятность:
[ C(5,3)*С(31,2) + C(5,4)*С(31,1) + C(5,5)*С(31,0) ] / С(36,5)

От: Буравчик
Дата: 03.09.11 20:26
Оценка:

Здравствуйте, pinosol666, Вы писали:

P>2)Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой: 6 одинаковых яблок, 1 апельсин, 1 сливу, 1 лимон, 1 грушу, 1 айву и 1 финик?
P>Вариант как я начал решить:
P>Так как яблоки у нас одинаковы то используем явно формулу с повторениями, думал решить через перестановки с повторениями — получилось общие число перестановок:
P>12!/6!*1!*1!*1!*1!*1!*1!
P>а вот дальше не понимаю как связать с Размещением, или тут Сочетание?! не могу понять

Раздадим сначала людям яблоки, затем остальные фрукты. Всего каждый человек должен получить по четыре предмета.

Всего яблок шесть. Пусть мы дали каждому по два яблока. Первый человек должен взять два экзотических фрукта (это которые не яблоки). Он может это сделать С(6,2) способами. Второй человек также должен взять два экзотических фрукта. Это С(4,2). Третий забирает все остальное С(2,2). Значит, когда мы дали каждому по два яблока количество вариантов будет равно С(6,2)*С(4,2)*С(2,2).

Рассматриваем все варианты распределения яблок между тремя людьми (разбиения 6 яблок на трех людей). Затем вычислим, сколько экзотических фруктов должен получить каждый человек (оно равно: четыре минус количество полученных яблок). Затем вычислим количество вариантов при каждом распределении яблок.
4+2+0 => 0+2+4 => С(6,0)*С(6,2)*С(4,4)
4+1+1 => 0+3+3 => С(6,0)*С(6,3)*С(3,3)
3+3+0 => 1+1+4 => С(6,1)*С(5,1)*С(4,4)
3+2+1 => 1+2+3 => С(6,1)*С(5,2)*С(3,3)
2+2+2 => 2+2+2 => С(6,2)*С(4,2)*С(2,2)

Суммируем и получаем общее количество вариантов распределения всех фруктов между тремя людьми:
1*15*1 + 1+20*1 + 6*5*1 + 6*10*1 + 15*6*1 = 215 вариантов

Источник

Как найти число перестановок с повторениями

Число перестановок c повторениями обозначают

Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы $n$. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом $k_1!$ способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют $k_2!$ перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом $ k_1!*k_2!*. *k_m! $ способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

Пример 1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

Калькулятор длч вычисления числа перестановок с повторениями

Пример 2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Читайте также:  Компот из айвы яблок и груш

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Источник

Правила суммы и произведения.(8ч.)

1.Л.Г.Петерсон Математика 1,2,3 кл.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения называются комбинаторными.

Комбинаторные задачи в начальном курсе систематически решаются как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю начальных классов необходимы определенные навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор всевозможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно. Учителю надо знать общие правила комбинаторики (суммы, произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.

Впервые во 2 классе II часть Ур. 37-42. К настоящему времени дети уже достаточно подготовлены к усвоению мысли о целесообразности упорядоченного перебора правила суммы и произведения.

1. Правило суммы – для нахождения числа элементов в объединении непересекающихся конечных множеств. Если объект а можно выбрать m способом, а объект в – k способом, то выбор» либо а, либо в» –( m + k) способом.

Задача: На тарелке лежит 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Так как в задаче речь идет о выборе либо яблок, либо апельсинов, то согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способом.

2. Правило произведения – для нахождения элементов в декартовом произведении. Если объект а можно выбрать m способом, а объект а, в – k способом, то пару (а,в)можно выбрать – m х k способом.

Задача1: На тарелке 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов из апельсинов и яблок.

Решение, т.к. речь идет о выборе пары (яблоки, апельсины), то согласно правилу произведения 4 х 5 = 20 способов.

Задача 2: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7,4,5?

Решение: О подсчете числа наборов из трех элементов (кортеш), согласно правилу произведения получим 3 х 3 х 3 = 27 способов.(т.к. цифры в записи числа могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно подобрать 3 разными способами каждую.)

Читайте также:  Если кормящая мама съела грушу

Задача. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение. Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Пер­вую цифру — цифру тысяч можно выбрать только одним спо­собом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Столько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц.

Итак, цифру тысяч можно выбрать одним способом, цифру сотен — двумя, цифру десятков — двумя, цифру единиц — двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, спосо­бы выбора каждой цифры надо перемножить: 1х2х2х2 = 8.

Таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

Задача . Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для запи­си сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десят­ков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5х5х4= 100 способами.

Дерево возможностей – наиболее универсальное средство для поиска решения.

Т.к. детям самим сложно отыскать логику, то надо показать детям использование «дерева».

*
1 2 3
II

Типовые примеры

Пример. В вазе для фруктов лежало 6 яблок, 5 груш и 4 персика. Сколькими способами можно выбрать один плод для угощения?

Решение. В задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша, либо персик». Число способов осуществить такой выбор определяется по правилу суммы:

6 + 5 + 4 = 15 (способов).

Пример. Нужно купить подарок для первоклассника, состоящий из ранца, пенала, подставки для книг и дневника. Сколькими способами это можно сделать, если магазин предла­гает 4 вида ранцев, 5 видов пеналов, 3 вида подставок и 2 вида дневников?

Решение. Ответ на вопрос задачи сводится к подсчету числа способов осуществить выбор «и ранец, и пенал, и подставка, и дневник». Очевидно, что задача решается по правилу произве­дения, а значит, подарок можно составить

4 • 5 • 3 • 2 = 120 (способами).

1. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ пе­ребора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

Сколько всевозможных трехзначных чисел можно соста­вить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра О?

4. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

5. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Изме­нится ли ответ в этой задаче, если цифры в записи числа не будут повторяться?

6. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные пятизнач­ные числа, причем так, что в записи каждого числа содержат­ся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

7. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно запи­сать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Источник

Adblock
detector